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輸入平均發生率λ和事件次數k，快速計算泊松機率P(X=k)及累積機率。
λ 為單位時間/空間內事件平均發生的次數，可為小數且必須 ≥ 0；k 為想要計算的實際發生次數，必須是 ≥ 0 的整數。
請輸入平均發生次數 λ 和發生次數 k 以檢視機率
概覽
了解工具能解決的問題、計算或處理邏輯，以及資料邊界。
泊松分佈適合描述一段明確時間或空間內，某事件會發生幾次的機率。輸入 λ（lambda）代表該觀察區間的平均事件數，輸入 k 則是想查的非負整數次數。兩者必須對應同一範圍，例如 λ 若是每小時平均來電數，k 就要問某一小時內的來電次數；若改看兩小時，平均數也應換成兩小時的 λ。
計算結果不是對未來事件的保證，而是依照所給 λ 和泊松模型計算的機率。這個工具不會從一份資料替你估計 λ，也不會判斷你的資料是否符合模型條件。
令 X 表示觀察區間內的事件數。恰好發生 k 次的機率為：
P(X = k) = e−λ λk / k!
P(X ≤ k) = Σi=0k P(X = i)
e 是自然常數，k! 是 k 的階乘；例如 3! = 3 × 2 × 1。累積結果有嚴格小於與包含等號兩種口徑：P(X < k) 加總到 k−1；P(X ≤ k) 則再包含恰好 k 次。相對地，P(X > k) 是 1−P(X≤k)，P(X≥k) 是 1−P(X<k)。這幾個標籤差一個等號，回答的問題就不同。
在泊松分佈中，均值和變異數都等於 λ，標準差為 √λ。變異數描述分散程度；標準差則與事件數使用相同單位，方便和平均數比較。
例如某固定時段的事件平均數 λ=4，查詢恰好 k=2 次。公式給出 P(X=2)=e−4×42/2!，約為 0.146525，也就是約 14.6525%。同一組輸入的 P(X<2) 約 0.091578、P(X≤2) 約 0.238103、P(X≥2) 約 0.908422、P(X>2) 約 0.761897。這些數字可用來檢查你選的是不是題目所問的機率口徑。
此例的均值與變異數都是 4，標準差是 2。結果會以小數呈現，恰好機率也會附百分比；需要讀成百分比時，將機率乘以 100 即可。
指南
依步驟完成操作，並透過範例核對輸入與結果。
確認你要分析的固定區間，例如一小時、一個班次或一個指定面積，並準備該區間的平均事件數 λ。
在平均發生次數欄輸入 λ。它可以是小數或 0，但不可為負數；若平均率原本按另一種時間尺度計算，先換算到目前觀察區間。
在發生次數欄輸入非負整數 k。工具會隨輸入更新結果；也可用示例資料帶入一組範例，或重置欄位重新計算。
按問題閱讀結果：「恰好」看 P(X=k)；「少於 k」看 P(X<k)；「不超過 k」看 P(X≤k)；「不少於 k」看 P(X≥k)；「超過 k」看 P(X>k)。結果另列均值、變異數、標準差與機率分佈圖。
例如「至少 2 次」包含正好 2 次，應讀 P(X≥2)；「超過 2 次」從 3 次開始，應讀 P(X>2)。
情境
查看這項工具在不同工作與生活流程中的用法。
排班或營運人員已有每小時平均請求數，可用同一小時的 λ 查詢特定件數或超過某門檻的模型機率，再和實際服務安排一併評估。
品質分析者若有定義一致的檢查批次及可追溯的平均缺陷數，可計算某批次出現 k 個缺陷的機率。模型數字可協助描述差異，不能單獨證明製程異常或找出原因。
學生可固定 λ 與 k，分別觀察點機率、左側累積和右側機率，練習區分「少於、至多、至少、超過」等文字敘述。
問答
集中解答常見疑問與容易混淆的問題。
可以，λ 表示一個區間的平均事件數，非負小數也有意義。請確認它與 k 使用相同的時間或空間區間。
前者不包含 k，後者包含 k；兩者相差 P(X=k)。例如 k=2 時，「少於 2 次」只計 0、1 次，「不超過 2 次」還包括 2 次。
k 必須是非負整數，小數、負數或空白會顯示輸入錯誤。程式將 k 大於 1,000,000 的輸入列為過大；這是計算限制，並非泊松分佈在數學上的最大次數。
事件平均數為 0 時，模型的全部機率都在 X=0：恰好 0 次的機率為 1，任何正次數的機率為 0。
須知
使用前了解適用範圍、結果限制與必要提醒。
泊松模型通常要求觀察範圍固定、平均事件率在該條件下大致穩定，且事件之間沒有明顯依賴。若事件會成群出現、互相影響，或不同時段的平均率有系統性變化，單一 λ 可能不足以描述資料。工具只按輸入參數計算，不會檢定這些假設。
計算值應視為所選模型下的機率，不是實際事件必然發生的比例，也不等同資料分析結論。若用於品質或營運決策，請同時檢查資料如何蒐集、區間是否一致，以及觀測結果是否有其他解釋。
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