素數合數計算器

素數、合數和 1 怎樣區分

對於一個正整數 n，如果 n 大於 1，並且正因數只有 1 和它本身，那麼它是素數，也叫質數。大於 1 的正整數只要還有別的正因數，就是合數。數字 1 只有一個正因數，達不到素數所需的兩個正因數，也不能寫成兩個大於 1 的整數之積，所以結果會顯示“既不是素數也不是合數”。

結果區的四項資訊分別表示什麼

輸入一個有效正整數後，頁面會隨輸入給出分類結果。對於大於 1 的數，結果區還會展示因數個數、質因數分解和按從小到大排列的全部正因數。因數列表回答“哪些正整數可以整除這個數”，質因數分解則把原數寫成質數相乘的形式；兩者用途不同，不能把“質因數”誤讀成“全部因數”。對於 1，頁面只突出顯示它既非素數也非合數，不展開普通的分解結果。

因數為何成對出現

如果 d 能整除 n，那麼 n ÷ d 也是一個正因數，二者組成因數對。例如 36 的因數對是 1×36、2×18、3×12、4×9 和 6×6。只需檢查到 √n 就能找到每一對，再將結果排序即可得到完整因數列表。遇到完全平方數時，平方根只計一次，所以 36 的正因數為 1、2、3、4、6、9、12、18、36，共 9 個。

質因數分解如何支撐結果複覈

算術基本定理說明，每個大於 1 的整數都能寫成質數的乘積，並且忽略排列順序後這種分解唯一。頁面從較小的因數開始反覆試除，並把重複出現的質因數逐個列出。因此 60 會顯示 2 × 2 × 3 × 5，而不是隻顯示 2、3、5；寫成冪的形式就是 2² × 3 × 5。

從輸入數字到讀懂分類

1. 準備一個十進制正整數

   輸入框每次處理一個數，例如 97。不要附帶空格分隔的第二個數、單位、小數點或指數寫法。

2. 輸入後檢視主分類

   結果會隨輸入變化，不需要另外點選計算按鈕。主卡片會直接標明素數、合數，或對 1 標明兩者都不是。

3. 交叉檢視三個明細

   對於大於 1 的數，先看因數個數，再看質因數分解，最後檢查完整因數列表。素數的因數個數應為 2；合數的因數個數至少為 3。

4. 複製、分享或清空

   複製功能會整理當前數字、分類、因數與質因數分解；分享功能可保留當前輸入。要換一道題，可直接改寫數字，或用清空按鈕恢復空白狀態。

用 60 做一遍完整復算

在“請輸入一個正整數”中填入 60，主結果應為“是合數”。因數列表為 1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60，共 12 個；因為除了 1 和 60 以外還有多個正因數，合數結論成立。質因數分解顯示 2 × 2 × 3 × 5，將這些數相乘得到 60。再用冪次公式覈對因數個數：60 = 2² × 3¹ × 5¹，所以 (2+1)(1+1)(1+1)=12，與頁面的因數個數相同。

作為對照，輸入 97 時只會列出 1 和 97，因數個數為 2，質因數分解就是 97 本身，因此分類為素數。輸入 36 則會看到平方根 6 只在列表中出現一次，這可以用來檢查完全平方數的因數是否被重複統計。

關於素數與因數的常見疑問

輸入邊界與覈驗建議

輸入框面向單個十進制正整數。空白、0 和負數不會生成分類結果；1 可以輸入，但它是特殊情況。多個數字、複數和帶單位的文字不屬於可處理格式。

• 不要用小數或科學計數法：這類內容可能只按開頭的整數片段讀取。例如 17.9 可能按 17 判斷，1e3 可能按 1 判斷，結果不代表原字面值。
• 因數列表只含正因數：例如 -2 雖然也整除 60，但頁面列的是 60 的正因數，不會顯示負因數。
• 極大整數需要另行復核：因數列舉和反覆試除所需時間會隨數值及其因數結構變化，超大整數還可能受到數值表示精度影響。密碼學素性檢驗、競賽證明或關鍵程式邏輯應使用支援任意精度整數並說明演算法保證的專用方案。
• 分享連結會保留數字：當前輸入會成為分享狀態的一部分，不要把不希望出現在連結中的內容當作待測數字。

若結果與手算不符，先確認輸入只有十進制數字，再把質因數相乘還原原數，並用因數對檢查完整列表；這三步能定位多數輸入格式或抄寫錯誤。