相關係數計算器

用成對數值看線性關係

皮爾森相關係數（Pearson correlation coefficient）以 r 表示，用來描述兩個數值變項之間線性共同變動的方向與程度。r 介於 −1 與 1：正值表示 X 偏高時 Y 通常也偏高，負值表示兩者傾向反向變動；絕對值越接近 1，線性趨勢越明顯。r 接近 0 只代表線性趨勢弱，不能據此排除彎曲或其他非線性關係。係數不帶原始單位，因此可用於不同量尺的成對數值比較；公式與係數邊界可參考 美國 NIST 的相關係數說明。

每個 X 都必須與相同位置的 Y 屬於同一個人、樣本或時間點。計算時先求兩列平均數，再將每一對數值相對平均數的偏差相乘並加總，最後除以兩列偏差平方和平方根的乘積：

兩列必須有相同筆數，且任一列不能完全沒有變化；否則相關係數無法計算。這項計算使用你輸入的資料，不需要額外的觀測資料來源。

結果欄位各自回答什麼

r 是方向與線性程度的主要指標；n 是成功解析並配對的筆數。r² 是 r 的平方，在簡單線性迴歸的脈絡中可作為線性關聯的平方指標，但它沒有方向，也不代表因果或預測保證。結果還列出 X、Y 的平均數與樣本標準差、共變異數、最小平方法迴歸式 y = ax + b，以及 X、Y 散點圖與計算步驟。解讀時可先看圖，再對照 r；單一係數可能掩蓋彎曲趨勢或離群點。

輸入 α（顯著水準）後，符合檢定條件時會顯示 t 統計量、自由度、雙尾 p 值與檢定結論。此處檢定的虛無假設是母體相關係數 ρ = 0；p 值須和事先選定的 α 比較，不能解讀成「虛無假設為真的機率」。統計檢定的假設與判讀可參照 Penn State 的相關係數檢定教材。

先整理兩列資料，再檢查配對

1. 確認每筆觀測的對應關係

   先決定一列代表什麼，例如每列是一位受試者的一組測量，或同一月份的兩項指標。X 與 Y 的第 i 筆必須來自同一筆觀測；不要只排序其中一列，也不要分開刪除缺值而使後續資料錯位。

2. 貼上 X 與 Y 數字

   在兩個欄位分別輸入數列，可用逗號、空格、換行、分號或定位字元分隔。負數與小數可直接輸入。工具會忽略不能解析的文字，因此建議貼上前先清除註解、單位名稱及表頭，並以結果顯示的 n 核對實際配對筆數。

3. 設定 α 並查看結果

   α 預設為 0.05；若研究計畫另有事先指定的顯著水準，可輸入大於 0 且小於 1 的數值。輸入至少兩對資料可計算 r；顯著性檢定至少需要三對，且 r 不可剛好為 1 或 −1。按「示例資料」可載入內建範例，重置可清空兩列並將 α 還原為 0.05。

4. 檢查圖形與完整摘要

   除了 r，請查看散點圖是否大致呈直線趨勢，並核對 r²、均值、標準差、共變異數與迴歸式。若要分享結果，分享網址會包含 X、Y 輸入內容和 α；資料涉及個人或業務敏感資訊時，不要建立或轉傳該網址。

五筆資料的手算對照

例如 X 為 1、2、3、4、5，Y 為 2、4、5、4、5。兩列平均數分別為 3 與 4；Sxy = 6、Sxx = 10、Syy = 6，所以 r = 6 ÷ √60 ≈ 0.7746，r² = 0.6000，n = 5。最小平方法迴歸式為 y = 0.6x + 2.2。輸入時維持這五對資料的順序，即可用係數與方程式核對結果。以 α = 0.05 檢視時，這組資料的雙尾 p 值約為 0.123，未達該門檻；這不等於已證明母體完全沒有線性關係。

配對、p 值與結果判讀

把相關、顯著與因果分開解讀

相關不等於因果。離群值可能大幅改變 r；非線性型態、不同子群混在一起或觀測彼此不獨立，也可能讓單一係數不適合描述資料。應先看散點圖、核對配對與研究設計，再決定如何報告。

顯著性檢定依賴適用的抽樣與分布條件；小樣本下尤其不宜只憑 p 值下結論。p ≥ α 是「未能拒絕虛無假設」，不等於證明無關；p < α 也不代表效果重要或可預測。相關分析適用於兩個數值變項的線性問題；若要判斷因果、預測或正式研究結論，請使用符合設計的統計方法並由具備相關知識者複核。