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輸入均值和標準差，快速計算某個值對應的累計機率或分位數。
均值是分佈的中心，標準差衡量資料的離散程度（越大越分散）。標準差必須大於 0。
請輸入均值、標準差和取值以檢視機率結果
概覽
了解工具能解決的問題、計算或處理邏輯，以及資料邊界。
常態分布（也稱正態分布或高斯分布）是一種以平均數 μ 為中心、左右對稱的連續機率模型。標準差 σ 表示分布的散布程度；σ 必須大於 0。輸入的平均數、標準差和取值 x 應使用相同單位，例如都以分數表示，或都以毫米表示。
先把 x 轉成 z 分數：z=(x−μ)/σ。z 表示 x 距離平均數幾個標準差；它是位置量，不是機率。累積分布函數 Φ(z) 表示標準常態變數落在 z 左側的比例，因此一般常態變數有 P(X≤x)=Φ((x−μ)/σ)。工具也可算右側、指定區間內或區間外的理論機率。NIST 統計手冊列出常態密度與標準常態累積分布的定義，並說明 CDF 以數值方式計算。
結果中的機率密度 f(x) 是曲線在 x 附近的高度，不是恰好取到 x 的機率；連續變數的單一點機率為零。區間機率才是曲線在一段範圍下的面積。變異數 σ² 是標準差的平方，單位也會平方；若原資料單位是毫米，變異數單位為平方毫米。
左側：Φ((x−μ)/σ) 右側：1−Φ((x−μ)/σ)區間 [a,b]：Φ((b−μ)/σ)−Φ((a−μ)/σ)，其中 a≤b區間外：1−區間內機率標準差與平均數相同單位、密度為該單位的倒數，這有助於分辨結果欄位的意義。公式與標準化方式可參閱 NIST 標準常態累積機率表說明。
指南
依步驟完成操作，並透過範例核對輸入與結果。
輸入平均數 μ 與大於 0 的標準差 σ。兩個參數需和 x 使用同一尺度；例如若 x 是考試分數，平均數和標準差也應以分數表示。
選擇「小於 x」、「大於 x」、「區間內」或「區間外」。前兩種填一個 x；區間模式填兩個端點。即使端點反向輸入，計算仍會依較小值和較大值界定區間。
結果以 0 到 1 的小數及百分比呈現，另列 z 分數、x 處的機率密度和變異數。曲線標示平均數與輸入取值，計算步驟則展示標準化及所選機率式。
例如 μ=75、σ=10、x=85，則 z=(85−75)/10=1。左側累積機率約為 0.8413（84.13%）；改選大於 x，右側約為 0.1587（15.87%）。若要算 65 到 85 之間，使用兩端累積機率相減，約為 0.6827（68.27%）。
情境
查看這項工具在不同工作與生活流程中的用法。
若課程分數可合理用常態模型描述，輸入班級平均數、標準差和某個分數，可估計模型中低於或高於該分數的比例。這是理論比例，並非實際名次或學生名單；若要判斷名次，仍需全體成績資料。
已知製程量測的平均數和標準差時，可把規格上下限填成區間端點，查看模型估計落在規格內或規格外的比例。分析前應確認樣本代表性、量測條件與分布假設，不能只依此數字決定製程是否合格。
當不同資料使用同一常態模型思路時，z 分數可表示觀測值離各自平均數有多遠。z=1 代表高於平均數一個標準差，z=−1 則低於平均數一個標準差；比較 z 值時仍要留意資料是否適合常態模型。
問答
集中解答常見疑問與容易混淆的問題。
不是。f(x) 是曲線高度，可能大於 1，也會隨量測單位改變；要看落在一段範圍的機率，請選區間內或區間外。
目前不能。工具是由平均數、標準差與 x（或兩個區間端點）求機率，沒有給定累積機率後反算分位數的模式。
σ=0 不符合這裡使用的連續常態分布模型。請填正值；若所有觀測值完全相同，應依資料情況選擇其他描述方式。
不會。計算會先按數值大小排序兩個端點，再求中間或外側的機率。區間模式結果仍代表所輸入模型下的面積。
須知
使用前了解適用範圍、結果限制與必要提醒。
結果是依照你輸入的 μ、σ 和常態分布假設算出的理論機率，不是從原始樣本直接統計出的比例。工具不會讀取資料集，也不會檢查常態性；若資料明顯偏斜、多峰、截斷或包含特殊群組，計算值未必能代表實際比例。分析前須另行確認模型是否合適。
標準常態累積機率以誤差函數近似計算，結果顯示有限位數；極端尾端機率可能因近似及四捨五入顯示為 0 或 1。此時不要把顯示值理解成真實機率恰為零或一。密度也不可直接解讀為機率；重要統計推論、品質判定或正式報告應核對適用的方法與精度需求。
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