連分數計算器

連分數把倒數步驟收進一串係數

簡單連分數以 [a₀; a₁, a₂, …] 表示巢狀倒數：a₀ + 1/(a₁ + 1/(a₂ + …))。把一個數的小數部分取倒數，再反覆取整數部分，就得到後續係數；有限有理數會在某一步結束，無理數則需要無限項才能完整表示。計算器可將十進位數值或分子、分母展開，也可把係數序列還原為分數與小數。

收斂子顯示每次截斷的分數

取連分數的前幾項並還原成分數，得到的逐步結果稱為收斂子。它讓你比較每次增加係數後，分數及其小數值如何變化。以 355/113 為例，展開是 [3; 7, 16]，依序截斷可得 3/1、22/7、355/113。

公式與術語依據

NIST《數字數學函數手冊》說明連分數的截斷值稱為 approximant 或 convergent，並列出分子、分母的遞迴關係。這裡的「收斂子」指每個有限截斷對應的分數，不代表工具已求得無限連分數的完整值。

依輸入型態展開或還原

1. 選擇計算方向

   「數值 → 連分數」可選十進位小數，或改填整數分子與分母；「連分數 → 分數」則輸入係數序列。

2. 設定數值模式的項數

   小數展開預設 12 項，可調整上限，最多 30 項。若輸入分數，展開會依整數除法過程結束，項數欄不會截短精確分數展開。

3. 檢視係數和逐步結果

   係數模式可輸入 3; 7, 16，空格、逗號或分號都可分隔。結果會列出連分數、分數或小數，以及各步收斂子；展開小數時另顯示原值、還原小數與絕對誤差。

例如輸入分子 355、分母 113，會得到 [3; 7, 16]。反向輸入相同係數，可核對最簡分數為 355/113。

輸入與結果常見疑問

有限精度與可用範圍

小數模式以浮點數運算，超過約 15 至 16 位有效數字的輸入可能受雙精度表示影響；雖可調整最多 30 項，增加項數不會補回輸入本身已失去的精度。需要精確展開有理數時，請改用整數分子與非零分母。

小數模式只接受十進位數值，不會解讀 π、根號或其他符號表示式。收斂子與還原小數是有限結果；顯示的小數也會四捨五入，應以分數和原始輸入為準來核對。反向模式要求後續係數為正整數，並不處理廣義連分數。