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輸入三個點座標，快速求拋物線標準式、頂點座標與對稱軸。
tools.parabola-equation-solver.emptyState
已知拋物線經過三個點 (1,2)、(2,5)、(3,10)，我們一起來用這個計算器快速求出它的方程。
拋物線（二次函式）的標準形式是 y = ax² + bx + c。給定三個不共線的點 (x₁,y₁)、(x₂,y₂)、(x₃,y₃)，代入後得到三個方程：
a·x₁² + b·x₁ + c = y₁
a·x₂² + b·x₂ + c = y₂
a·x₃² + b·x₃ + c = y₃
解這個三元一次方程組，就能求出 a、b、c。我們的計算器內部使用矩陣消元或克萊姆法則，自動完成計算，並同時輸出頂點座標 (-b/(2a), (4ac-b²)/(4a)) 和對稱軸 x = -b/(2a)。
1 和 2。2,5 和 3,10。y = 1x² + 0x + 1(0, 1)x = 0問題：拋物線經過 (1,2)、(2,5)、(3,10)，求方程。
計算過程：
代入一般式 y = ax² + bx + c：
① a·1² + b·1 + c = 2 → a + b + c = 2
② a·2² + b·2 + c = 5 → 4a + 2b + c = 5
③ a·3² + b·3 + c = 10 → 9a + 3b + c = 10
② - ① 得 3a + b = 3
③ - ① 得 8a + 2b = 8 → 除以2：4a + b = 4
兩式相減得 a = 1，代入得 b = 0，再代入①得 c = 1。
結果：y = x² + 1，頂點 (0,1)，對稱軸 x=0，開口向上。
解讀：該拋物線的最低點是 (0,1)，在 x=0 處取得最小值 1；因為 a>0，影象像“U”形。你可以在計算器內輸入這三組座標驗證。
邊緣情況：三點共線：如果輸入 (0,0)、(1,1)、(2,2)，計算器會顯示 a=0，方程退化為一次函式 y=1x+0，並提示“三點共線，不是拋物線”。這是合理的——共線點無法確定二次函式。
不同開口：輸入 (0,0)、(1,-1)、(2,0)，可得到 y = -x² + 2x，頂點 (1,1)，開口向下，說明最高點為 (1,1)。
| 引數範圍 | 影象特徵 | 實際意義 |
|---|---|---|
| a > 0 | 開口向上，頂點為最小值 | 如收益遞增、軌跡上升段 |
| a < 0 | 開口向下，頂點為最大值 | 如成本遞減、最高點預測 |
| |a| 越小 | 拋物線越“寬” | 變化速率慢 |
| Δ = b²-4ac > 0 | 與 x 軸有兩個交點 | 方程有兩個實根 |
| Δ = 0 | 與 x 軸相切 | 一個重根 |
| Δ < 0 | 與 x 軸無交點 | 拋物線完全在 x 軸上方或下方 |
在我們的結果卡中，除了 a、b、c，還會直接給出頂點、對稱軸和判別式 Δ，幫助你快速判斷函式影象。
現在你可以在上方計算器裡試試自己的拋物線點了。
