拋物線方程求解計算器

從係數或三個座標點求出二次函數

這個計算器處理圖形開口朝上或朝下、對稱軸平行於 y 軸的拋物線，可用 y = ax² + bx + c 表示，且 a ≠ 0。可直接輸入係數 a、b、c，也可輸入曲線上的三個點，反求符合資料的二次函數。兩種方式最後都會整理成同一種一般式。

係數模式適合已知函數式、想檢查圖形特徵的情況；三點模式適合題目給出三組座標、要求列式的情況。結果包含頂點、對稱軸、開口方向、焦點、準線、y 軸截距、判別式，以及與 x 軸的實際交點或複數根。也會顯示計算步驟與函數圖形，方便對照輸入條件。

頂點與對稱軸如何讀

對 y = ax² + bx + c，對稱軸是 x = −b/(2a)，頂點座標為 (h, k)，其中 h = −b/(2a)、k = c − b²/(4a)。若 a > 0，曲線向上開口，頂點是最低點；若 a < 0，曲線向下開口，頂點是最高點。這裡的最高或最低僅是函數圖形的數學性質；套用到現實模型前，仍要確認變數範圍和模型假設。

焦點與準線描述拋物線的幾何位置。以頂點 (h,k) 表示時，令 p = 1/(4a)，焦點為 (h, k+p)，準線為 y = k−p。因為這裡只處理垂直軸的二次函數，橫向開口或旋轉的圓錐曲線不在範圍內。

判別式連結方程根與 x 軸交點

令函數值 y=0，就得到二次方程 ax²+bx+c=0。判別式 Δ = b²−4ac 可判斷根的類型：Δ > 0 有兩個不同實根，圖形與 x 軸相交兩次；Δ = 0 有一個重根，圖形與 x 軸相切；Δ < 0 沒有實數交點，結果改列一對共軛複根。y 軸截距則是 (0,c)，因為令 x=0 後函數值等於 c。

公式中的係數、點座標是以使用者所採用的座標系統為準。若輸入代表公尺、秒或其他量，結果沿用相應的單位；工具不會替數字推斷或轉換單位。

核對公式依據

一般式、頂點和對稱軸的關係可參考 OpenStax 二次函數教材；焦點、準線與垂直軸拋物線的參數關係見 OpenStax 拋物線教材；判別式與根的種類可參考 OpenStax 二次方程教材。上述資料支援公式與概念解讀，不表示輸入資料已經過驗證。

依已知資料選擇輸入方式

1. 若已知函數式，選擇係數輸入，分別填入 a、b、c。二次項係數 a 不可為 0；b 或 c 可以是 0，也可以使用負數或小數。

2. 若已知三個曲線點，切換到三點輸入，逐點填入每一點的 x 與 y 座標。三個 x 座標必須互不相同，否則無法由這個形式得到唯一解；三點若共線，也不會形成二次項係數不為 0 的拋物線。

3. 資料填完整且符合條件後，查看方程、頂點、開口、焦點、準線、截距與根等結果。三點模式會列出由座標建立方程組和求係數的步驟；圖形可協助檢查形狀及點的位置。

4. 需要留存方程時，可使用結果旁的複製功能；也可使用重置清除欄位，再計算另一組資料。

例如給定 (1,2)、(2,5)、(3,10)，代入一般式可得 a+b+c=2、4a+2b+c=5、9a+3b+c=10。消去 c 後得到 3a+b=3 與 4a+b=4，因此 a=1、b=0、c=1，方程為 y=x²+1，頂點為 (0,1)，對稱軸為 x=0。

輸入條件與結果判讀

座標條件與數值顯示

輸入三個點時，座標應使用同一套座標軸與一致單位。三點模式要求不同的 x 座標，且三點不可共線；係數模式要求 a≠0。非常接近的座標或很大的數值可能使浮點計算的末位有所差異。畫面會以簡化小數格式顯示數值，若要用於正式計算，請以原始資料精度另行核對。

本工具計算的是數學函數結果，不會檢驗資料品質、判定現實問題是否適用二次模型，也不會驗證物理或工程安全。圖形僅供視覺理解；座標值的物理意義、有效範圍與單位需由使用者自行確認。