一元二次方程計算器

典型使用場景

一元二次方程在生活中經常碰到，只是你可能沒意識到。比如：

• 裝修預算：鋪地磚時，若房間長寬滿足某種二次關係，你需要解方程來確定裁剪尺寸。
• 拋體運動：籃球投籃的軌跡是拋物線，要算出球在什麼時間落地，方程就是一元二次的。
• 家庭理財：貸款月供公式裡也藏著二次項，化簡要解方程。

這些場合你不需要手算，拿出我們的計算器，輸入係數馬上得到答案。

使用步驟

1. 開啟我們的計算器頁面，你會看到三個輸入框，分別標著 a、b、c，對應方程 ax² + bx + c = 0 裡的係數。
2. 在第一個框裡填 a 的值（比如 2），第二個框填 b（比如 -4），第三個框填 c（比如 -6）。注意負數要帶減號。
3. 點選下方的「計算」按鈕。
4. 結果區域會顯示：判別式 Δ 的值、根的個數、以及兩個根 x₁ 和 x₂。如果 Δ < 0，會顯示覆數形式。
5. 你還可以直接複製結果，或者清空重新輸入。

完整算例

我們一起來算一個：2x² - 4x - 6 = 0。

• 在 a 輸入框填 2，b 填 -4，c 填 -6，點選計算。
• 計算器內部計算：判別式 Δ = b² - 4ac = (-4)² - 4×2×(-6) = 16 + 48 = 64
• √Δ = 8，然後兩根：x₁ = [4 + 8] / (2×2) = 12 / 4 = 3；x₂ = [4 - 8] / 4 = -4 / 4 = -1
• 結果頁顯示：Δ = 64 > 0，兩個不等實根：3 和 -1。馬上可以用原方程驗證：當 x=3 時 2×9 -12 -6=0，正確。

更多算例

算例 2（重根）：x² + 2x + 1 = 0，即 a=1, b=2, c=1。計算得 Δ = 0，根 x₁ = x₂ = -1。結果頁會提示「兩個相等的實根」。

算例 3（無實根）：x² + x + 1 = 0，即 a=1, b=1, c=1。Δ = 1 - 4 = -3 < 0。計算器會輸出兩個複數根：(-1 ± i√3)/2。這對大學工程計算很有用。

結果怎麼解讀

• Δ > 0：方程有兩個不同的實數根。拋物線開口向上或向下，與 x 軸有兩個交點。
• Δ = 0：方程有兩個相等的實數根（重根）。拋物線頂點剛好落在 x 軸上。
• Δ < 0：方程沒有實數根，但有一對共軛複數根。拋物線完全在 x 軸上方或下方，不接觸 x 軸。

注意：我們計算器會展示既約分數形式（如果係數是整數且根為有理數）或者保留小數。複數根會寫為 a ± bi 形式。

常見誤用

• 係數寫反順序：確保輸入順序是 a, b, c，不要寫成 b, a, c 或 c, b, a。
• 漏掉負號：如果方程是 2x² - 4x + 6 = 0，b 要填 -4，不是 4；c 要填 6。
• a 不能為 0：如果 a=0 就變成一次方程，本工具不適用。遇到 a=0 時結果會提示「這不是一元二次方程」。
• 誤以為結果必須精確分數：當係數為無理數（如 √2）時，建議先轉化為小數輸入，結果會顯示小數近似值。
• 忘記檢查判別式符號：直接看根之前先看 Δ 的正負，能快速判斷是否有實根。

注意事項

• 本計算器只處理一元二次方程（最高次項為 x²），不能解三次或更高次方程。
• 係數 a、b、c 支援整數、小數和負數，但 a 必須是非零實數。若 a=0，工具會報錯。
• 浮點數運算存在極小的舍入誤差（通常小於 1e-10），但不影響大部分應用場景。
• 複數根的輸出格式為直角座標（a+bi），不提供極座標形式。
• 本工具基於二次方程求根公式實現，與教科書方法完全一致。

常見問題 FAQ

1. 為什麼 Δ < 0 時沒有實數根？平方根在實數範圍內沒有意義，所以沒有實數解。但複數範圍內仍有解，計算器會給出複數形式。
2. 如何輸入分數係數（如 a=1/2）？直接用小數 0.5 即可。如果希望保留分數結果，可手動計算後再輸入，但結果也會顯示小數。
3. 結果裡的兩個根順序固定嗎？是的，x₁ 是較大的那個（當 Δ≥0 時），x₂ 是較小的。複數時 x₁ 實部為 (-b)/(2a)，虛部為正。
4. 這個計算器能解一元三次方程嗎？不能，只能解二次方程。需要三次方程請用專門的工具。
5. 為什麼我的根和手算有細微差別？可能是浮點數舍入，比如輸入 1/3 用 0.333333 代替，結果會有微小差異。建議用精確小數輸入。
6. 係數能是字母嗎？不能。本工具只接受數字輸入，不支援符號代數。

現在你可以在上方計算器裡試試自己的數字。