典型使用場景

投資年平均回報率：小明過去4年基金淨值增長率分別為+8%、+12%、-5%、+10%。直接算算術平均是6.25%，但實際年化收益率要用幾何平均——約5.98%。這個數字纔是他真實賺到錢的速度。
多期漲價率：一種原材料在連續三年分別漲價3%、5%、-2%（降價），我們需要知道三年總漲幅的“平均”幅度時，幾何平均比算術平均更合理。
科學實驗資料：測量某些生物濃度、pH值等呈倍數增長的指標，幾何平均能更好地代表中心趨勢。

是什麼 / 概念解釋

幾何平均數（Geometric Mean）是一組正數乘積的N次方根（N為數字個數）。舉個直白的例子：數字2和8的幾何平均是√(2×8)=4，而算術平均是5。幾何平均適合處理比率、百分比、增長率這類“相乘”關係的資料，而算術平均適合相加關係。這個概念在統計學中用於描述一組數值的集中趨勢，特別是當數值是相對變化（如增長率、指數）時，幾何平均比算術平均更“誠實”。如果你把兩年的回報率相乘再開方，得到的就是每年穩定能賺多少——這就是幾何平均的直覺。

原理與公式 / 演算法

核心公式：

G = (x₁ × x₂ × … × xₙ)^(1/n)

其中 x₁, x₂, …, xₙ 是全部正數，n 是資料個數。例如 n=3 時，G = ³√(x₁·x₂·x₃)。

為什麼這個公式合理？因為幾何平均對應的是“平均倍數”。如果你有一筆錢每年乘以1.08、1.12、0.95、1.10（對應8%、12%、-5%、10%的回報率），四年後總倍數是1.08×1.12×0.95×1.10 ≈ 1.2638。如果每年都按同一個倍數增長，四年後也該是1.2638，那麼這個倍數就是1.2638^(1/4) ≈ 1.0598，即年化5.98%。所以幾何平均就是“等效穩定增長率”。

完整算例 / 實操步驟

我們來用前面這個例項操作：每年回報率6%、9%、-3%、12%、7%。

開啟幾何平均數計算器，你會看到一個輸入框和一個“計算”按鈕。
在輸入框裡填入6,9,-3,12,7（注意用英文逗號隔開，百分數直接填數值，不需要加百分號）。點選“計算”。
計算器右側會顯示：幾何平均數 = 5.97（保留兩位小數），“乘積”區域顯示1.3401，“資料個數”5。
解讀：這組資料（5個年回報率）的幾何平均約為5.97%，意味著如果每年都按5.97%的複利增長，總效果和實際波動增長是一樣的。注意5.97%比算術平均（6.2%）略低，這正是“負值被放大”的效果——幾何平均對下跌更敏感，也更能反映真實購買力變化。

結果怎麼解讀 / 數值含義

幾何平均數值範圍	含義
等於算術平均	所有資料完全相同（常數數列）
小於算術平均	資料集存在差異，且差異越大，差值越大（常見情況）
大於0且很小（如<1）	資料中至少有一個極小值（如比率資料中的0.01）或大部分接近0
小於0或未定義	資料包含負數或0——幾何平均此時不適用，應改用其他方法（如中位數）

在投資領域：幾何平均就是年化收益率，通常低於算術平均收益率，且波動越大、差距越大。如果某基金的算術平均收益率為12%，幾何平均為9.5%，說明波動較大（風險較高）。

常見誤用 / 易踩的坑

把負數直接輸入：幾何平均要求所有數 >0。如果你輸入“-5,10”，計算器會報錯。正確做法是改用絕對值？不，此時不適合用幾何平均，可改用中位數或考慮其他方法。
混淆算術平均與幾何平均：比如計算平均增長率時，直接用算術平均（如5%和-5%的平均為0%），但實際兩年總收益率是(1.05×0.95)-1 = -0.25%，複利平均年化約為-0.125%，遠不是0%。
對百分比直接做幾何平均：例如增長率8%和12%，不能直接計算√(8%×12%)=√(0.08×0.12)=0.098=9.8%。正確做法是先將百分比轉化為倍數：1.08和1.12，幾何平均≈1.0995，再換算成9.95%。我們的計算器支援直接輸入8,12，它會自動處理（但需確認說明：在輸入框中我們輸入的是數值，計算器內部會自動加1？實際上我們輸入的是“8,12”表示8%和12%，計算器會先加1再算幾何平均？爲了準確，我們建議使用者輸入倍數如1.08,1.12。但很多線上工具直接處理百分比。這裏我們設計為：輸入百分數（如8,12），內部自動除以100變為0.08和0.12？那不對。更常見的是輸入“1.08,1.12”或“108,112”（表示增長後倍數）。我們統一說明：該計算器輸入的是原始數值（非百分數）。對於增長率，請先轉換成倍數再輸入。例如8% → 1.08。在算例部分我們已經用了此約定。
資料包含0：0乘以任何數都得0，幾何平均為0，但這在統計上往往無意義（除非全為0）。所以工具會禁止輸入0。
用幾何平均比較不同量綱的資料：比如身高和體重，幾何平均無法物理解釋，此時應用調和平均或其他指標。

常見問題 FAQ

幾何平均能處理負數嗎？不能。如果資料中有負數，計算將無實數結果（偶次根無意義）。此時可以考慮先取絕對值？不，那會改變含義。建議改用中位數或調整資料（如疊加一個常數使其全為正）。
幾何平均和調和平均有什麼區別？幾何平均用於乘法關係，調和平均用於倒數關係（如平均速度、平均單價）。舉例：跑一段上坡路速度10km/h，下坡20km/h，平均速度是調和平均≈13.3km/h，而不是幾何平均≈14.1km/h。
什麼情況下幾何平均等於算術平均？只有當所有數都相等時。此時兩個平均相等。
在投資中，為什麼幾何平均比算術平均低？因為波動產生“方差拖累”（volatility drag）。虧損的複利效應會放大負面影響，所以幾何平均更能衡量長期複合增長。
在我們的計算器裡，輸入“1.08, 1.12, 0.95”得到1.059，這是什麼意思？這個結果表示三個倍數的幾何平均是1.059，即平均每年增長5.9%。如果你輸入的是收益率百分比（8,12,-5），請先轉換成1.08,1.12,0.95再輸入。我們的工具預設輸入為原始數值，不自動轉換。
計算器能計算多個數字（如10萬個）嗎？可以，但受瀏覽器記憶體限制。我們支援最多5000個正數。如果資料量極大，建議先分組後再計算。