線性插值法計算器

用兩點連成的直線估算目標值

線性內插（也常稱線性插值）是用兩個已知座標點定出一條直線，再依目標 x 在橫座標上的位置，估算對應的 y。這個計算器需要輸入第一點 (x₁, y₁)、第二點 (x₂, y₂) 與目標 x，回傳 y；它只使用這兩點，不會讀取其他資料或替數據找最佳擬合曲線。若目標 x 在兩個已知 x 值之間，結果標示為內插；落在區間之外則標示為外推；剛好等於任一端點時會標示為端點。

先求目標位置相對於兩端的比例 t，再把 y 的變化量按相同比例加到 y₁。這種權重寫法也見於 NIST《數字數學函數庫》線性插值公式，適用於目標位於兩節點之間的情形。

結果區還會列出斜率 (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)、比例 t、Δx、Δy，以及代入數值後的算式與直線方程。斜率表示 x 每增加一單位，直線上的 y 改變多少；t 則只表示目標 x 的相對位置，本身沒有單位。若 x 軸以秒、y 軸以公尺表示，斜率單位就是公尺/秒。

填入座標並核對輸出

1. 輸入第一個已知點

   填入 x₁ 與 y₁，代表一筆已知座標。這兩個數字的單位分別屬於 x 軸與 y 軸。

2. 輸入第二個已知點

   填入 x₂ 與 y₂。同一座標軸的兩個數值應使用相同單位，例如 x₁、x₂ 都用秒，y₁、y₂ 都用公尺。

3. 指定要估算的 x

   輸入目標 x。它可位於兩個已知 x 值之間，也可在範圍外；後者仍會依同一直線計算，但結果會標示為外推。

4. 讀取與複製結果

   查看目標 y、斜率、比例係數 t、Δx 與 Δy。計算步驟會顯示公式、代入值、結果及直線方程；結果數字或方程式旁的複製按鈕可複製內容。需要清除目前輸入時，可使用重設回到預設算例。

可手算的例子

已知 (1, 10) 與 (5, 30)，求 x=3。t=(3−1)/(5−1)=0.5；y=10+0.5×(30−10)=20。斜率是 (30−10)/(5−1)=5，Δx=4、Δy=20，因此結果為 y=20。這個例子可用來對照工具列出的比例、斜率和代入步驟。

輸入邊界與結果判讀

線性假設與數值顯示的界線

內插只是在兩個端點之間以直線補值，不會驗證真實函數是否線性。即使目標在區間內，若變化明顯彎曲、存在突變或測量值不穩定，直線估算仍可能與實際值有差距。區間外的外推更依賴「延伸後趨勢不變」的假設，離端點越遠也不代表可靠度會維持不變。使用前應先確認兩端資料可比較，並依用途查核原始數據或採用更合適的模型。

計算器按輸入數字運算，不會檢查量綱、轉換單位、使用多筆資料擬合、評估誤差範圍或判斷資料品質。結果的小數位與科學記號是畫面格式，不是測量精度或準確度保證；重要分析請保留原始資料並確認所用假設。