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計算點到直線的垂直距離，支援兩點式和一般式方程輸入。
計算公式
d = |A·x₀ + B·y₀ + C| / √(A² + B²)
垂足座標：x_f = x₀ − A·(A·x₀ + B·y₀ + C)/(A² + B²)，y_f 同理
兩點式可轉換為一般式：A = y₂ − y₁，B = −(x₂ − x₁)，C = x₂·y₁ − x₁·y₂
3x + 4y − 12 = 0(1.6, 1.8)概覽
了解工具能解決的問題、計算或處理邏輯，以及資料邊界。
點到直線的距離，是從指定點向直線作垂線後，點與垂足之間的長度。這裡的計算範圍是同一個二維直角座標系，不是三維空間中的點到直線或點到平面的距離。若目標點為 P₀(x₀,y₀)，直線寫成 Ax+By+C=0，A、B 不可同時為 0，距離 d 為：
A、B 描述直線的法向方向；分子是把點座標代入直線方程後取絕對值，分母則把這個值換算成座標平面上的垂直長度。距離不帶方向，所以即使目標點位於直線兩側，結果仍為非負數。公式與垂直投影的推導可參考曼尼托巴大學線性代數教材第 5.7.3 節及國立臺灣大學科學Online 的點到直線距離公式說明（核對日期：2026 年 9 月 30 日）。
已知一般式時，直接填入 A、B、C。若直線由兩個不同點 P₁(x₁,y₁)、P₂(x₂,y₂) 決定，工具會換算為 A=y₂−y₁、B=−(x₂−x₁)、C=x₂y₁−x₁y₂，再以同一公式計算。兩點重合時沒有唯一的直線；一般式若 A、B 都是 0，也不能代表一條直線。把 A、B、C 同乘任一非零常數不會改變直線，距離也不變，因為公式的分子與分母會同比例改變。
結果會呈現垂直距離、換算後的一般式直線，以及垂足 H 的座標。例：P₀(2,3) 到 3x+4y−10=0，距離為 |3×2+4×3−10|÷√(3²+4²)=8÷5=1.6；垂足為 H(1.04,1.72)，代回直線可得 3×1.04+4×1.72−10=0。若座標以公尺記錄，1.6 的單位也是公尺；若沒有附單位，結果就是座標單位。
指南
依步驟完成操作，並透過範例核對輸入與結果。
目標點與直線必須位於同一個平面座標系，x、y 軸的方向、原點與單位要一致。不要把不同圖面或不同單位的座標混在一起。
在一般式模式輸入 A、B、C；或切換到兩點模式，填入直線上 P₁、P₂ 的座標。兩點模式中的兩點必須不同。再填上目標點 P₀ 的 x₀、y₀。
結果區會顯示距離、一般式直線和垂足座標。可以將垂足代回直線方程，檢查其是否落在線上；若從兩點模式轉成方程式，係數整體正負相反仍可能表示同一條直線。
輸入 P₀(2,3) 與 3x+4y−10=0，應得到距離 1.6、垂足 H(1.04,1.72)。可另外確認 3×1.04+4×1.72−10=0。
情境
查看這項工具在不同工作與生活流程中的用法。
學生或教師可輸入題目中的點與直線，檢查絕對值、係數代入及平方根計算。將工具列出的垂足代回方程，也能多核對一個步驟。
若一條平面基準線由兩個座標點標示，可用兩點模式計算另一點到該線的垂直距離。輸入與解讀時沿用圖面單位；若是測量資料，仍須由使用者自行訂定誤差或容許範圍。
問答
集中解答常見疑問與容易混淆的問題。
可以，其中一個為 0 時仍能表示水平線或垂直線；但 A、B 不可同時為 0，否則公式無法定義有效直線。
重合的兩點沒有方向，不能唯一決定直線。請檢查其中一點的座標，或改用已知的一般式。
點在線上時，垂直距離就是 0。此工具以代入值的絕對值小於 1e-12 判定「點在線上」提示；非常接近直線的點也可能因數值捨入而觸發該提示。
不會。直線方程整體乘以任何非零常數都表示相同直線，距離公式中的分子與分母同步縮放，商值相同。
須知
使用前了解適用範圍、結果限制與必要提醒。
距離沿用輸入座標的長度單位；若座標是無單位的數值，結果也沒有指定物理單位。數值一般最多顯示六位小數；絕對值小於 0.0001 或大於等於 1,000,000,000 時會改用科學記號顯示。顯示值可能經過四捨五入，極小數、極大數或非常接近直線的點宜再檢查原始輸入與垂足。計算只處理二維直線的幾何距離，不會判定測量誤差、工程容差或資料是否符合某套座標基準；需要容差判斷時，請依專案規範另行設定門檻。
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