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将任意实数或分数展开为连分数形式，并支持由连分数序列还原有理数，提供渐进分数与最佳逼近。
上限は 30 です。小数入力では精度に限界があるため、項数を増やしすぎると結果が不正確になる場合があります。
連分数表現
x = a₀ + 1 / (a₁ + 1 / (a₂ + 1 / (a₃ + ...)))
標準表記 [a₀; a₁, a₂, a₃, ...] は、各層の整数商に対応します。
ヒント: 円周率 π の一般的な近似値は [3; 7, 15, 1, 292] で、分数 355/113 に相当します。
* 最大項数に達したため、連分数は切り捨てられました。項数を増やすことで、より高い精度が得られます。
| n | p / q | 小数 |
|---|---|---|
| 0 | 3 / 1 | 3 |
| 1 | 22 / 7 | 3.1428571429 |
| 2 | 333 / 106 | 3.141509434 |
| 3 | 355 / 113 | 3.1415929204 |
| 4 | 103993 / 33102 | 3.141592653 |
| 5 | 104348 / 33215 | 3.1415926539 |
| 6 | 208341 / 66317 | 3.1415926535 |
| 7 | 312689 / 99532 | 3.1415926536 |
| 8 | 833719 / 265381 | 3.1415926536 |
| 9 | 1146408 / 364913 | 3.1415926536 |
| 10 | 4272943 / 1360120 | 3.1415926536 |
| 11 | 5419351 / 1725033 | 3.1415926536 |
概要
解決できる課題、処理の仕組み、データの範囲を確認できます。
連分数は、整数と入れ子になった逆数で数を表す方法です。正則連分数の表記 [a₀; a₁, a₂, …] は、a₀ + 1/(a₁ + 1/(a₂ + …)) を意味します。この計算器では、小数または分子・分母で入力した有理数を係数列へ展開するほか、係数列から分数と小数を復元できます。平方根やπなどの記号式を入力して展開する機能はありません。
係数を先頭から順に使って得る有限分数を「収束分数」と呼びます。係数を一つ追加するたびに分数が更新されるため、元の値をどのような分数で段階的に表せるかを確認できます。分子 pₙ と分母 qₙ は、係数 aₙ を使って pₙ = aₙpₙ₋₁ + pₙ₋₂、qₙ = aₙqₙ₋₁ + qₙ₋₂ と計算します。連分数の定義と収束分数の漸化式は、NIST DLMF §1.12を参照してください。
355 ÷ 113 = 3 余り16、113 ÷ 16 = 7 余り1、16 ÷ 1 = 16 余り0 と割り進めると、係数は [3; 7, 16] です。最初の係数だけなら 3/1、次まで使うと 22/7、すべて使うと 355/113 になります。分数入力で展開した場合は、各段階の分数・小数と、入力値および最終値を確認できます。
使い方
手順に沿って操作し、例を使って入力と結果を確認します。
「数値 → 連分数」を選び、小数または分数を指定します。小数は数値を入力し、分数は整数の分子と分母を別々に入力してください。分母は0にできません。
小数入力では最大項数を指定します。初期値は12項で、上限は30項です。分数入力では割り算の余りがなくなるまで展開するため、この項数設定は展開長の指定には使いません。
「連分数 → 分数」を選び、3; 7, 16 のように入力します。空白、カンマ、セミコロンで区切れます。初項以外は正の整数にしてください。結果には連分数、既約分数、小数と各段階の収束分数が表示されます。
展開結果では、入力値、最後の収束分数の小数値、絶対誤差を見比べます。係数列をコピーして別の計算に使うこともできます。
活用例
仕事や日常の流れの中での活用方法を紹介します。
分数を入力し、割り算の商に対応する係数と各収束分数を並べて確認します。例の 355/113 なら 3/1、22/7、355/113 の順に表示され、手計算の結果と照合できます。
有限小数を入力し、項数を変えたときの連分数係数と収束分数を確認します。分母の大きさと小数での差を見比べ、記録や説明に使う分数表現を選ぶ材料にできます。
資料に記載された係数を入力し、既約分数と小数値を確かめます。区切り記号を整えて転記すれば、数列の読み違いも見つけやすくなります。
Q&A
よくある疑問や迷いやすい点をまとめて確認できます。
小数入力は指定した項数まで展開し、上限は30項です。上限に達した結果は途中で切り捨てられます。項数を増やして再確認できますが、入力値自体の小数精度を超える正確さは得られません。
有限小数の3.14159と分数355/113は別の数です。入力値が異なれば係数列も異なることがあります。πそのものを指定する記号入力には対応していないため、πの近似値を小数として入力した結果はその近似値の展開です。
係数は整数で入力し、初項の後ろには正の整数を指定してください。空欄や小数係数、後続項の0・負数は受け付けません。区切りには空白、カンマ、セミコロンを使えます。
整数の分子・分母からの展開は、余りが0になった時点で有限の係数列として終了します。小数入力のように途中で打ち切るための項数指定は必要ありません。
注意
利用範囲、結果の制限、必要な注意点を事前に確認します。
小数モードは入力された有限の十進数をもとに計算し、最大30項まで展開します。表示された誤差は入力小数と最終収束分数との差です。計算では浮動小数点数を使うため、有効桁数を超える細かな差は保証されません。精確な有理数を扱うときは、整数の分子・分母で入力してください。
入力欄は小数、整数の分子・分母、整数係数列を受け取ります。平方根記号、π、式、無限連分数の周期性を解析する機能は含まれません。小数展開が項数上限で終了した場合、表示は有限の近似であり、元の値との一致を意味しません。
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