3点で放物線方程式をオンライン無料計算

係数または3点から二次関数を決める

この計算では、縦向きの放物線を y = ax² + bx + c（a ≠ 0）として扱います。係数 a・b・c が分かっている場合はそのまま入力し、式が分からない場合は放物線上の3点 (x,y) から係数を求めます。3点のx座標はそれぞれ異なる必要があります。出力には方程式のほか、頂点、対称軸、開く向き、焦点、準線、y軸との交点、判別式と根が含まれ、グラフと計算手順も確認できます。

3点入力では各点を式に代入し、a・b・c を含む連立方程式を解きます。たとえば (1,2)、(2,5)、(3,10) なら、得られる式は y = x² + 1 です。3点を通る式を決める計算であり、測定データに最もよく合う曲線を統計的に推定する処理ではありません。

頂点・軸・焦点を式から読む

平方完成すると y = a(x−h)²+k と表せます。頂点は (h,k)、対称軸は x=h です。係数からは h=−b/(2a)、k=c−b²/(4a) で求められます。a>0 なら上向きに開き頂点が最小点、a<0 なら下向きに開き頂点が最大点です。

この縦向きの放物線では p=1/(4a) とおくと、焦点は (h,k+p)、準線は y=k−p です。焦点は固定点、準線は固定直線で、放物線上の点から両者までの距離が等しくなるという幾何学的な定義に基づきます。公式と用語は OpenStaxの二次関数の解説および放物線の解説で確認できます。

判別式 Δ=b²−4ac はx軸との交点の数を判断する手掛かりです。Δ>0 なら異なる2つの実根、Δ=0 なら重根、Δ<0 なら実根がなく、グラフはx軸と交わりません。

入力モードを選んで結果を確かめる

1. 分かっている情報に合わせる

   式の係数が分かる場合は「係数入力」を選びます。グラフ上の点が分かる場合は「3点入力」に切り替えます。

2. 数値と座標を入力する

   係数入力では a・b・c をすべて記入し、a が0でないことを確認します。3点入力では各点のxとyを入力します。座標には同じ座標系・単位を使い、x座標が重ならないようにします。

3. 計算結果を読み合わせる

   表示された方程式に加え、頂点・軸・焦点・準線と根を確認します。3点入力の場合は、計算手順に示された連立方程式と、グラフ上の指定点も照らし合わせます。方程式の横の操作で式をコピーできます。入力を消すときはリセットを使います。

例の3点 (1,2)、(2,5)、(3,10) から得られる y=x²+1 は、頂点が (0,1)、軸が x=0 です。判別式は −4 なので実数のx切片はありません。入力した3点を式に戻して確認すると、計算結果の見直しにもなります。

入力条件と根の表示について

縦向きの式と数値計算の範囲

対象は y=ax²+bx+c の形で表す縦向きの放物線です。横向きの x=ay²+by+c や、焦点と準線を入力して式を作る形式、任意の向きの円錐曲線には対応しません。グラフ上の点が実測値の場合も、計算結果が現象に適合するか、予測や安全性に使えるかを判定するものではありません。

入力は数値として計算され、表示値は有効桁数を整えて丸められます。座標の桁数が多い場合や、x座標が非常に近い場合は表示結果の末尾に差が出ることがあります。厳密な値が必要な課題では、元の数値を使って式を再確認してください。