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根据已知两点坐标，快速计算中间点线性插值结果。
既知点間にある場合は内挿、範囲外にある場合は外挿となります。外挿の場合、結果の誤差が大きくなる傾向があります。
線形補間式
y = y₁ + (x − x₁) · (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)
別形式: y = y₁ + t · (y₂ − y₁)
比例係数: t = (x − x₁) / (x₂ − x₁)
線形補間は、2点間の変化が線形であると仮定します。データ変化が緩やか、または区間が小さい場合に適用されます。
y = y₁ + (x − x₁) · (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁)y = 10 + (3 − 1) · (30 − 10) / (5 − 1)y = 20y = 10 + 5 · (x - 1)概要
解決できる課題、処理の仕組み、データの範囲を確認できます。
線形補間は、既知の座標 (x₁, y₁) と (x₂, y₂) を直線で結び、その直線上で指定した x に対応する y を計算する方法です。この計算機では5つの数値、つまり2点のx・y座標と目標xを入力します。x₁とx₂は異なる値にしてください。同じ横座標では傾きが定まらず、式の分母 x₂−x₁ が0になります。
t = (x − x₁) / (x₂ − x₁)
y = y₁ + t × (y₂ − y₁)
同じ式を展開すると、y = y₁ + (x − x₁) × (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁) です。
t は第1点から第2点へ向かう横方向の割合です。目標xが2点の間なら0から1の範囲になり、tに応じてy₁からy₂へ直線的に移ります。NISTの数値計算法資料にも、線形補間は端点の値を割合で組み合わせる形で示されています。
目標xがx₁とx₂の間にある計算は内挿です。xがいずれかの既知点と一致すれば、結果はその点のyになります。範囲の外にあるxを指定した場合は外挿となり、この計算機は2点を通る同じ直線を延長して値を出します。画面の状態表示を見れば、内挿、端点、外挿のどれに当たるかを区別できます。外挿値は既知区間の外でも関係が直線のまま続くと仮定した計算値です。
使い方
手順に沿って操作し、例を使って入力と結果を確認します。
それぞれのx座標とy座標を入力します。小数や負の値も指定できます。x軸どうし、y軸どうしで単位をそろえてください。
目標xの欄に値を入力します。2点の間なら内挿、外なら外挿として計算されます。
結果のyに加えて、傾き、比例係数t、Δx、Δy、数値を代入した式と直線の式が表示されます。必要に応じて結果をコピーし、入力値と照らし合わせてください。
例として、(1, 10) と (5, 30) から x=3 の値を求めます。t=(3−1)/(5−1)=0.5、y=10+0.5×(30−10)=20 なので、結果は y=20 です。傾きは (30−10)/(5−1)=5、Δx=4、Δy=20 となります。各数値は公式に戻して確認できます。
入力を初期状態に戻したい場合はリセットを使います。初期値は (1, 10)、(5, 30)、目標x=3 です。
活用例
仕事や日常の流れの中での活用方法を紹介します。
2点と目標xを入力し、tの求め方からyの算出までを画面の式と照合できます。割合が0または1のときに端点へ戻ることも確認できます。
測定表や参照表の隣り合う2行が対象を挟むとき、両点を入力して中間値を算出できます。元の表を確認し、その区間を直線で近似してよいか判断してください。
傾き、比例係数、差分、代入式を見比べることで、分母や座標の入れ違いに気づきやすくなります。入力した点の順番を逆にしても、同じ直線上のyになることを照合に使えます。
Q&A
よくある疑問や迷いやすい点をまとめて確認できます。
計算できません。分母が0になるため、xの異なる2点を入力してください。xもyも両方同じ点を二度入力した場合も、直線を一意に定められません。
同じ2点と同じ目標xなら、直線とyの結果は変わりません。傾きも同じですが、比例係数tはどちらを第1点とするかで表す向きが変わります。
求められます。範囲外では直線を延長した外挿として表示されます。外挿値が実際のデータ傾向を表すとは限らないため、元データや別のモデルで確かめてください。
いいえ。この計算は入力された2点を通る1本の直線に限られます。多数の観測値から傾向を推定する回帰や、曲線を使う補間は別の方法です。
注意
利用範囲、結果の制限、必要な注意点を事前に確認します。
x座標どうしとy座標どうしは、それぞれ同じ単位で入力してください。たとえばxを秒、yをメートルで表す場合、傾きの単位はメートル毎秒です。計算機は単位を判定・変換せず、数値だけを使います。
出力は入力した2点を結ぶ直線上の値であり、測定の不確かさやデータの曲がり具合を評価するものではありません。関係が曲線状、急変、または測定誤差を含む場合、2点だけの結果を実際の値とみなさず、適切な補間法や元データを確認してください。特に外挿では、区間外も直線関係が続くという仮定を別途検討する必要があります。
画面上の数値は読みやすさのため桁を整えて表示し、小さい値や大きい値は指数表記になる場合があります。表示値を精密な測定値として扱わず、必要な桁数や丸め方を用途に応じて確認してください。
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