弓形面積計算

弧と弦に挟まれた部分を求める

円弓形（弓形）は、円の弧と、その両端を結ぶ弦で囲まれた領域です。扇形のように2本の半径と弧で囲まれた領域とは異なります。この計算では円の半径 r と中心角 α を使い、弓形の面積だけを求めます。入力する角度は度数法です。

計算ではまず α をラジアン θ に直し、扇形の面積から、2本の半径と弦が作る三角形の面積を引きます。三角形の面積に現れる正弦もラジアンで評価します。

中心角が180°未満なら小さい側の弓形、180°なら半円、180°を超えるなら大きい側の弓形に対応します。角度に応じた領域をそのまま計算するため、大きい側を自動で小さい側に置き換えることはありません。

扇形の面積との違い

同じ半径と中心角でも、扇形には中心から弧の両端へ伸びる2本の半径の間が含まれます。弓形は弧と弦の間だけです。したがって扇形面積の式 ½r²θ をそのまま弓形面積として使うと、半径と弦で囲まれる三角形の分だけ大きくなります。小さい弓形では「扇形 − 三角形」、180°を超える角度では同じ式が大きい弓形に対応します。

公式の θ はラジアンです。角度をラジアンで扱う理由と扇形面積の関係は、OpenStax『Algebra and Trigonometry 2e』7.1節で確認できます。ここで使う弓形の式は、その扇形面積から三角形面積を引いて得られます。

半径と角度から計算する

1. 長さの単位をそろえる

   半径欄には正の数を入力します。単位を選ぶ欄はないため、測定値が cm なら cm、m なら m と、元の単位を自分で記録してください。

2. 中心角を度数で入力する

   角度欄には度数法の数値を入力します。たとえば90度は「90」と入力します。ラジアン値の π/2 やその小数値を入力する欄ではありません。

3. 表示された面積を読む

   面積は小数点以下4桁で表示されます。半径を10、角度を90とした場合は28.5398です。半径の単位が cm なら、結果は約28.5398 cm²と読みます。

計算結果を共有する際も、数値だけでなく半径に使った長さ単位の二乗を添えると、後から値の意味を取り違えにくくなります。

角度・単位・結果について

入力と丸め結果を確認する

半径と中心角はどちらも正の値が必要です。角度は度数で入力し、0度を超えて360度までの円弧を想定してください。半径に単位は設定されないため、入力値の長さ単位と結果の平方単位は利用者が対応させます。

表示値は小数点以下4桁に丸められています。精度が必要な用途では丸め前の値や測定誤差も考慮してください。この式は同一円上の弧と弦で囲まれた理想的な図形を前提とし、輪郭が円でない形状の面積にはそのまま適用できません。