正規分布計算機、オンライン累積確率クエリ

平均と標準偏差から正規分布の確率を求める

この計算ツールは、平均 μ、標準偏差 σ、調べたい値 x（区間の場合は両端）を使い、設定した正規分布モデルの確率を計算します。正規分布は平均を中心に左右対称な釣鐘型の連続分布です。μは中心、σは散らばりの尺度で、入力する値と同じ単位を使います。σは0より大きくしてください。

正規分布の累積確率は、値が x 以下になる曲線下の面積です。標準化した z=(x−μ)/σ を用いると、左側確率は Φ(z) と書けます。z は平均から何標準偏差離れているかを表す位置であり、確率そのものではありません。NISTの統計ハンドブックは、正規密度の式と標準正規分布の累積関数を示し、累積値は数値計算で求めると説明しています。

4つの範囲モードと結果の読み方

「xより小さい」は Φ((x−μ)/σ)、「xより大きい」はその補数 1−Φ((x−μ)/σ) を返します。「区間内」は両端を a、b としたとき Φ((大きい端−μ)/σ)−Φ((小さい端−μ)/σ)、「区間外」はその確率を1から引きます。端点を逆順に入力しても小さい値と大きい値を並べ替えて計算します。

結果欄には選択範囲の確率と百分率に加え、最初の入力値 x₁ に対する Zスコア、確率密度 f(x₁)、分散 σ²が表示されます。密度は曲線の高さであり、x₁をちょうど取る確率ではありません。連続分布で範囲の確率を読むときは、曲線の区間面積を見ます。グラフは平均を中心とした形を確認する補助表示です。

目的に合うモードを選んで入力する

1. 分布の条件をそろえる

   平均 μ と標準偏差 σ を入力します。σは正の値が必要です。たとえば点数を扱うなら、μ・σ・xをすべて点数でそろえます。

2. 確率を知りたい範囲を選ぶ

   片側なら「xより小さい」または「xより大きい」を選び、xを1つ入力します。範囲内・範囲外を求める場合は2つの端点を入力します。端点の順番は問いません。

3. 確率と補助指標を読む

   確率は0から1までの値と百分率で表示されます。例として μ=75、σ=10、x=85 なら z=(85−75)/10=1 です。左側確率は約0.8413（84.13%）、右側確率は約0.1587（15.87%）です。これは仮定した分布上の割合です。

区間確率は上側の累積確率から下側の累積確率を引くため、同じ μ・σ・端点なら区間外確率と合計して1になります。小数表示は計算値の丸めを含むため、表示桁を超える精度として扱わないでください。

確率と表示項目について

結果を実データへ当てはめる前に

計算結果は、入力した平均・標準偏差を持つ正規分布モデルの理論確率です。このツールは標本データを読み込まず、分布への適合度検定も行いません。実際のデータが偏っている、複数の山がある、上下限で切られているなどの場合、モデル確率と観測割合が異なることがあります。標本から推定した平均・標準偏差を使う場合も、その推定方法や標本の取り方を別に確認してください。

確率密度は確率ではなく、Zスコアも順位そのものではありません。極端な入力では数値近似や丸めの影響が表示値に現れることがあります。工程管理、試験評価、研究など重要な判断では、前提とデータを確認し、必要に応じて適切な統計手法で検証してください。