连分数计算器

把数写成嵌套倒数

简单连分数用一串整数表示一个数：[a₀; a₁, a₂, …] 对应 a₀ + 1/(a₁ + 1/(a₂ + …))。把数的小数部分取倒数后继续重复，就得到后续系数。对有理数，这个过程会在有限步结束；对一般小数输入，工具按设定项数给出有限展开。

逐项截断得到收敛子

连分数取前几项后分别还原出的分数，称为收敛子。它们展示展开过程中的分数值如何逐步变化。NIST 的数学函数参考将连分数的有限截断值称为渐近值或收敛子。比如 355/113 展开为 [3; 7, 16]，对应截断结果依次是 3/1、22/7、355/113。

以 355/113 为例：355 除以 113 得商3、余16；113 除以16 得商7、余1；16 除以1 得商16、余0，所以系数序列为 [3; 7, 16]。逐项还原即可得到工具结果中的分数序列，这也提供了一个可手算复核的输入。

选择方向并读取逐步结果

1. 选择转换方向

   “数值转连分数”会展开输入值；“连分数转数值”会把系数序列还原成分数和小数。

2. 输入一个数

   展开方向可选普通小数，或切换到分数模式分别填写整数分子和非零整数分母。若需要保留有理数本身的精确值，优先输入分子、分母。

3. 设置小数展开项数

   小数模式初始最多显示12项，可将上限调整到30项以内。分数输入会按余数过程自然结束，不需要手动设定项数。

4. 还原一串系数

   反向模式可输入如 3; 7, 16 的整数序列，逗号、分号或空格均可作分隔符；查看连分数、最终分数和每一步的收敛子，并可复制连分数结果。

小数展开时，结果区会显示输入小数、最后一个截断分数对应的小数以及两者的绝对误差；收敛子表列出各步的分数和小数值。比较相邻行可以同时观察误差如何变化、分母如何增长，再决定哪一步更适合当前表示需要。

输入结果相关问题

有限展开与显示精度

无理数或无限小数只能在有限项后截断；增加项数会改变结果表示，但输出仍是有限展开。小数模式接受普通十进制数值，不解析 π、根号或代数表达式。展开上限为30项；小数结果按有限显示位数格式化，因此需要高精度计算时应核对原始输入和分数形式。

若使用分数模式，分子和分母应为整数，分母不能为零；反向模式的首项之后也不能出现零或负系数。连分数的收敛子是对输入数的逐步近似结果，不应把有限位小数显示误读为无限精确值。

数值展开结果还会并列显示原输入、展开后小数和两者的绝对误差；收敛子表则逐项列出分数与小数。比较时可同时看误差与分母大小：较小误差往往伴随更长展开或更大的分子、分母，实际取舍取决于你对精度和表示长度的要求。