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输入三个点坐标，快速求抛物线标准式、顶点坐标与对称轴。
Enter coefficients or three points to view the parabola's analysis.
一元二次方程计算器
输入系数 a、b、c，一键计算一元二次方程的实数根或复数根。
Prime and Composite Number Calculator
Instantly identify prime, composite, or special numbers. Supports batch checking and mathematical property analysis.
Inverse Trigonometric Function Calculator
Accurately calculate radian values for inverse trig functions like arcsin and arccos. Supports 6 function types and custom decimal precision.
已知抛物线经过三个点 (1,2)、(2,5)、(3,10)，我们一起来用这个计算器快速求出它的方程。
抛物线（二次函数）的标准形式是 y = ax² + bx + c。给定三个不共线的点 (x₁,y₁)、(x₂,y₂)、(x₃,y₃)，代入后得到三个方程：
a·x₁² + b·x₁ + c = y₁
a·x₂² + b·x₂ + c = y₂
a·x₃² + b·x₃ + c = y₃
解这个三元一次方程组，就能求出 a、b、c。我们的计算器内部使用矩阵消元或克莱姆法则，自动完成计算，并同时输出顶点坐标 (-b/(2a), (4ac-b²)/(4a)) 和对称轴 x = -b/(2a)。
1 和 2。2,5 和 3,10。y = 1x² + 0x + 1(0, 1)x = 0问题：抛物线经过 (1,2)、(2,5)、(3,10)，求方程。
计算过程：
代入一般式 y = ax² + bx + c：
① a·1² + b·1 + c = 2 → a + b + c = 2
② a·2² + b·2 + c = 5 → 4a + 2b + c = 5
③ a·3² + b·3 + c = 10 → 9a + 3b + c = 10
② - ① 得 3a + b = 3
③ - ① 得 8a + 2b = 8 → 除以2：4a + b = 4
两式相减得 a = 1，代入得 b = 0，再代入①得 c = 1。
结果：y = x² + 1，顶点 (0,1)，对称轴 x=0，开口向上。
解读：该抛物线的最低点是 (0,1)，在 x=0 处取得最小值 1；因为 a>0，图像像“U”形。你可以在计算器内输入这三组坐标验证。
边缘情况：三点共线：如果输入 (0,0)、(1,1)、(2,2)，计算器会显示 a=0，方程退化为一次函数 y=1x+0，并提示“三点共线，不是抛物线”。这是合理的——共线点无法确定二次函数。
不同开口：输入 (0,0)、(1,-1)、(2,0)，可得到 y = -x² + 2x，顶点 (1,1)，开口向下，说明最高点为 (1,1)。
| 参数范围 | 图像特征 | 实际意义 |
|---|---|---|
| a > 0 | 开口向上，顶点为最小值 | 如收益递增、轨迹上升段 |
| a < 0 | 开口向下，顶点为最大值 | 如成本递减、最高点预测 |
| |a| 越小 | 抛物线越“宽” | 变化速率慢 |
| Δ = b²-4ac > 0 | 与 x 轴有两个交点 | 方程有两个实根 |
| Δ = 0 | 与 x 轴相切 | 一个重根 |
| Δ < 0 | 与 x 轴无交点 | 抛物线完全在 x 轴上方或下方 |
在我们的结果卡中，除了 a、b、c，还会直接给出顶点、对称轴和判别式 Δ，帮助你快速判断函数图像。
现在你可以在上方计算器里试试自己的抛物线点了。