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输入三个点坐标，快速求抛物线标准式、顶点坐标与对称轴。
请填写系数或输入三个点以查看抛物线的解析结果
已知抛物线经过三个点 (1,2)、(2,5)、(3,10)，我们一起来用这个计算器快速求出它的方程。
抛物线（二次函数）的标准形式是 y = ax² + bx + c。给定三个不共线的点 (x₁,y₁)、(x₂,y₂)、(x₃,y₃)，代入后得到三个方程：
a·x₁² + b·x₁ + c = y₁
a·x₂² + b·x₂ + c = y₂
a·x₃² + b·x₃ + c = y₃
解这个三元一次方程组，就能求出 a、b、c。我们的计算器内部使用矩阵消元或克莱姆法则，自动完成计算，并同时输出顶点坐标 (-b/(2a), (4ac-b²)/(4a)) 和对称轴 x = -b/(2a)。
1 和 2。2,5 和 3,10。y = 1x² + 0x + 1(0, 1)x = 0问题：抛物线经过 (1,2)、(2,5)、(3,10)，求方程。
计算过程：
代入一般式 y = ax² + bx + c：
① a·1² + b·1 + c = 2 → a + b + c = 2
② a·2² + b·2 + c = 5 → 4a + 2b + c = 5
③ a·3² + b·3 + c = 10 → 9a + 3b + c = 10
② - ① 得 3a + b = 3
③ - ① 得 8a + 2b = 8 → 除以2：4a + b = 4
两式相减得 a = 1，代入得 b = 0，再代入①得 c = 1。
结果：y = x² + 1，顶点 (0,1)，对称轴 x=0，开口向上。
解读：该抛物线的最低点是 (0,1)，在 x=0 处取得最小值 1；因为 a>0，图像像“U”形。你可以在计算器内输入这三组坐标验证。
边缘情况：三点共线：如果输入 (0,0)、(1,1)、(2,2)，计算器会显示 a=0，方程退化为一次函数 y=1x+0，并提示“三点共线，不是抛物线”。这是合理的——共线点无法确定二次函数。
不同开口：输入 (0,0)、(1,-1)、(2,0)，可得到 y = -x² + 2x，顶点 (1,1)，开口向下，说明最高点为 (1,1)。
| 参数范围 | 图像特征 | 实际意义 |
|---|---|---|
| a > 0 | 开口向上，顶点为最小值 | 如收益递增、轨迹上升段 |
| a < 0 | 开口向下，顶点为最大值 | 如成本递减、最高点预测 |
| |a| 越小 | 抛物线越“宽” | 变化速率慢 |
| Δ = b²-4ac > 0 | 与 x 轴有两个交点 | 方程有两个实根 |
| Δ = 0 | 与 x 轴相切 | 一个重根 |
| Δ < 0 | 与 x 轴无交点 | 抛物线完全在 x 轴上方或下方 |
在我们的结果卡中，除了 a、b、c，还会直接给出顶点、对称轴和判别式 Δ，帮助你快速判断函数图像。
现在你可以在上方计算器里试试自己的抛物线点了。